【行政上の問題】
私道であれば、基本的に道路交通法は適用されません。
ただし、私道における交通事故の場合、負傷者の救助義務と警察への報告義務（道路交通法７２条）はあります。

【民事上の問題】
質問内容の標識等の内容は、交通整理でしょうから、それに従わないと交通事故を起こした際の過失割合に影響することがあります。
駐車場内での交通事故については、民事実務上でも、過失割合において公道とは異なる配慮がされています。

【刑事上の問題】
刑法の建造物侵入罪（刑法１３０条）に注意が必要です。
囲繞地も建造物又は住居の一部とされています（最高裁昭和25年9月27日判決）。この囲繞地が建造物の一部に該当するか判断は、裁判でも争われ得る点です（逆転無罪判決。大阪高裁令和3年7月16日）。
駐車場など一般には開かれている場所でも、平穏を害するような管理権者の意思に反する立ち入りは、正当な理由のない「侵入」になり得ます。
犯罪成立には行為時に故意が必要です。例えば、侵入時に駐車場内を荒らす意図、すなわち私道であるからといって標識等を無視して危険な運転を繰り返す意図（故意）をもって囲繞地に侵入した場合、行為時に犯罪の故意があるものとして建造物侵入罪に該当する可能性があるでしょう。
ご質問内容だけでは、その故意がある事情までは見当たらないですので、刑事上の問題はないかと思います。

最高裁判決によれば、
「共有者は、共有物につき持分に応じた使用をすることができるにとどまり、他の共有者との協議を経ずに当然に共有物を単独で使用する権原を有するものではない。しかし、『共有者間の合意により共有者の一人が共有物を単独で使用する旨を定めた場合』には、右合意により単独使用を認められた共有者は、『右合意が変更され、又は共有関係が解消されるまでの間は、共有物を単独で使用することができ』、右使用による利益について他の共有者に対して不当利得返還義務を負わない」
とされています（最高裁平成１０年２月２６日判決。２箇所の『　』は私が付しました）。
判例の読み方として、合意には黙示的合意も含まれ、一方的に使用権を放棄することも認められると思います。

また、前の弁護士先生がおっしゃる「共有名義者には100%家のどの部分も使える権利」というのも、家のどの部分も使用できる（使用を妨げられない）という意味では正しいです。

現状、妻が勝手に出て行った状況ですので、単独使用に関する黙示的合意（若しくは使用権放棄）があったものと考えるのが自然だと私も思います。
しかしながら、もし黙示的合意若しくは使用権放棄があっても、それは将来にわたってずっとと考えるのは合理的ではなく、現状の話であると考えられます。
つまり、今後、婚姻費用に関する調停・離婚の話合い・求償請求中の主張反論や協議の中で、黙示的合意や使用権放棄に関する事情が将来にわたって変わってくることはあり得ると考えられます。

したがって、現状（勝手に出て行った状況）では、確かに不当利得返還請求をされて認められる可能性は低いとは思いますが、今後あり得るものとしては想定しておく必要があると思います。
また、そういった意味でも、今行われている調停の段階でも、書面や発言等に注意が必要とはいえると思います。前の弁護士が「持分に応じて賃料相当額の不当利得返還請求をされる可能性はあり得ない」は、現状のみの話と考えるべきでしょう。

なお、書面や発言等に注意すれば、100％不当利得返還請求をされる可能性はあり得ないということでもありません。結局は、明示的な合意をもらっておかない限り、黙示的な合意というのは諸々の事情の評価だからです。

相談者様の想定との関係で重要だと思い、長くなりましたが説明差し上げました。
ご参考になさってみてください。